精英家教網(wǎng)某廣告公司為2010年上海世博會設(shè)計了一種霓虹燈,樣式如圖中實線部分所示.其上部分是以AB為直徑的半圓,點O為圓心,下部分是以AB為斜邊的等腰直角三角形,DE,DF是兩根支桿,其中AB=2米,∠EOA=∠FOB=2x(0<x<
π4
).現(xiàn)在弧EF、線段DE與線段DF上裝彩燈,在弧AE、弧BF、線段AD與線段BD上裝節(jié)能燈.若每種燈的“心悅效果”均與相應(yīng)的線段或弧的長度成正比,且彩燈的比例系數(shù)為2k,節(jié)能燈的比例系數(shù)為k(k>0),假定該霓虹燈整體的“心悅效果”y是所有燈“心悅效果”的和.
(1)試將y表示為x的函數(shù);
(2)試確定當x取何值時,該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳.
分析:(1)由題意知,建立三角函數(shù)模型,根據(jù)所給的條件看出要用的三角形的邊長和角度,用余弦定理寫出要求的邊長,表述出函數(shù)式,整理變化成最簡的形式,得到結(jié)果.
(2)要求函數(shù)的單調(diào)性,對上一問整理的函數(shù)式求導,利用導數(shù)求出函數(shù)的單增區(qū)間和單減區(qū)間,看出變量x取到的結(jié)果.
解答:解:(1)∵∠EOA=∠FOB=2x,
∴弧EF、AE、BF的長分別為π-4x,2x,2x
連接OD,則由OD=OE=OF=1,
∠FOD=∠EOD=2x+
π
2

DE=DF=
1+1-2cos(2x+
π
2
)
=
2+2sin2x
=
2
(sinx+cosx)
,
y=2k(2
2
(sinx+cosx)+π-4x)+k(2
2
+4x)

=2k(2
2
(sinx+cosx)-2x+
2
+π)
;
(2)∵由y′=4k(
2
(cosx-sinx)-1)=0
,
解得cos(x+
π
4
)=
1
2
,
x=
π
12
,
又當x∈(0,
π
12
)
時,y'>0,此時y在(0,
π
12
)
上單調(diào)遞增;
x∈(
π
12
,
π
4
)
時,y'<0,此時y在(
π
12
π
4
)
上單調(diào)遞減.
故當x=
π
12
時,該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳.
點評:本題是一道難度較大的題,表現(xiàn)在以下幾個方面第一需要自己根據(jù)條件建立三角函數(shù)模型寫出解析式,再對解析式進行整理運算,得到函數(shù)性質(zhì),這是一個綜合題,解題的關(guān)鍵是讀懂題意.
練習冊系列答案
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(1)試將y表示為x的函數(shù);
(2)試確定當x取何值時,該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳.

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(1)試將y表示為x的函數(shù);
(2)試確定當x取何值時,該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳.

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