Question

【題目】已知橢圓的左．右焦點(diǎn)為，離心率為.直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，是直線與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè).

（1）證明：；

（2）若，的周長(zhǎng)為；寫(xiě)出橢圓的方程；

（3）確定的值，使得是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，是等腰三角形

【解析】

（1）分別求出坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造關(guān)于的方程，整理即可證得結(jié)果；（2）利用（1）的結(jié)論求得，根據(jù)焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)為可得到關(guān)于方程，求得后，根據(jù)求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（3）根據(jù)可知若為等腰三角形，則需，即點(diǎn)到直線距離，利用點(diǎn)到直線距離公式構(gòu)造方程可求得，根據(jù)（1）的結(jié)論得到結(jié)果.

（1）為與軸的交點(diǎn) ，

由得：，即

，

，整理可得：

（2）由（1）得：，解得：，即

周長(zhǎng)為，即 ，

橢圓的方程為：

（3） 為鈍角

若是等腰三角形，則

設(shè)到直線距離為，則需

，即，解得：

由（1）得：

當(dāng)時(shí)，是等腰三角形