Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為的正方形，EC⊥平面CDAB，EF∥CA，點O是AC與BD的交點，CE=EF=1．
（1）求證：AF∥平面BDE；
（2）求證：CF⊥平面BDE；
（3）求二面角A-BE-D的大�。�

Answer 1

解：（1）連接EO，∵正方形ABCD的邊長為，∴其對角線AC=2．
∵EF∥CO，且EF=1，AO=AC=1，
∴四邊形AOEF為平行四邊形，∴AF∥OE．
又∵EO?平面BDE，AF?平面BDE，∴AF∥平面BDE．
（2）證法一：連接OF，∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥CO，EC⊥CD，EC⊥DB．
又∵EF∥CO，CE=EF=CO=1，∴四邊形CEFO是正方形，∴CF⊥EO．
又∵CD=CB=，∴DE=BE．
∵O是BD的中點，∴EO⊥BD．
∵EC∩EO=E，∴DB⊥平面CEFO，∴DB⊥CF．
而EO∩BD=O，∴CF⊥平面BDE．
證法二：由已知條件建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz，
可知C（0，0，0），A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F(xiàn)．
∴，，．
∵，∴CF⊥BE；
∵，∴CF⊥DE．
∵BE∩DE=E，∴CF⊥平面BDE．
（3）設(shè)平面BDE的法向量為，∴，，
得，令，則y₁=1，x₁=1，∴．
設(shè)平面ABE的法向量，∵，，
∴=0，．
∴x₂=0．令，則y₂=1，∴．
∴==．∴．
由圖可知二面角A-BE-D的平面角為．
分析：（1）設(shè)AC與BD的交點為O，則DO=BO=BD，連接EO，則可證出四邊形EFAO是平行四邊形，從而AF∥EO，由線面平行的判定定理，可得AF∥平面BDE；
（2）連接FO，可證明四邊形CEFO是正方形，可得對角線CF⊥EO．可證ED=EB又OD=OB，所以EO⊥BD，從而可證明CF⊥平面BDE．也可以建立空間直角坐標系，利用兩直線垂直與兩條直線的方向向量的數(shù)量積為零的關(guān)系來證明．
（3）通過可以建立空間直角坐標系，先求出二面角的兩半平面的法向量的夾角，進而即可求出二面角的平面角．
點評：本題綜合考查了線面的平行、垂直及二面角的平面角，熟練掌握判定定理和性質(zhì)定理及通過建立空間直角坐標系利用數(shù)量積等于0與垂直的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．