Question

四面體ABCD中，AB=2，BC=3，BD=2

3

，CD=3，∠ABD=30°，∠ABC=60°，則AB與CD所成角為

60°

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，在三角形ABD中，過A作AE垂直于BD，交BD于點(diǎn)E，連接CE并延長，使EF=EC，連接BF，DF，AF，可得出∠ABF為AB與CD所成角，求法為：在三角形ABE中，由30°所對的直角邊等于斜邊的一半，根據(jù)AB的長求出AE的長，進(jìn)而利用勾股定理求出BE的長，發(fā)現(xiàn)BE為BD的一半，即E為BD的中點(diǎn)，又BC=DC，CE為BD上的中線，根據(jù)三線合一得到CE垂直于BD，根據(jù)AE垂直于面BCDF，可得出AE垂直于EF，再由EF=CE，BE=DE，得到四邊形BCDF為平行四邊形，再由鄰邊BC=DC，可得出四邊形BCDF為菱形，得出BF=BC，由BC的長，得出BF的長，在直角三角形AEF中，由EF及AE的長，利用勾股定理求出AF的長，在三角形ABF中，利用余弦定理表示出cos∠ABF，將三邊長代入求出cos∠ABF的值，由∠ABF的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出∠ABF的度數(shù)，即為AB與CD所成角的度數(shù)．

解答：解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：
在△ABD中，過A作AE⊥BD，交BD于點(diǎn)E，連接CE，并延長使EF=EC，連接BF，DF，AF，
在△ABE中，∠ABD=30°，AB=2，
∴AE=

1

2

AB=1，根據(jù)勾股定理得到BE=

3

，
又BD=2

3

，∴E為BD的中點(diǎn)，
∵BC=DC=3，∴CF⊥BD，又AE⊥BD，
∴BD⊥面ACF，又面ABD與面ACF交于直線BD，
∴AE⊥面BCD，
∴AE⊥CF，
∵CE=EF，BE=DE，
∴四邊形BCDF為平行四邊形，又BC=DC，
∴四邊形BCDF為菱形，
∴BF=BC=CD=DF=3，
在Rt△BCE中，BC=3，BE=

3

，
根據(jù)勾股定理得：CE=

32-( 3 )2

=

6

，
∴EF=CE=

6

，又AE=1，
在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得：AF=

7

，
在△ABF中，AB=2，BF=3，AF=

7

，
∴由余弦定理得：cos∠ABF=

22+32-( 7 )2

2×2×3

=

1

2

，
又0＜∠ABF≤90°，∴∠ABF=60°，
則AB與CD所成角為60°．
故答案為：60°

點(diǎn)評：此題考查了勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，余弦定理，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，考查了學(xué)生空間想象的能力．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，在圖形中確定出所求的角．