Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù).

（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，直接寫出的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（3）若在區(qū)間上恒成立，求的最大值.

 

Answer 1

（1）0;（2）當(dāng)時(shí)，無(wú)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是.（3）1

【解析】

試題分析：（1）由題意知函數(shù)的圖像關(guān)于.所以函數(shù)是奇函數(shù).則有,由此可解得.（2）求導(dǎo),討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào),導(dǎo)數(shù)正得增區(qū)間,導(dǎo)數(shù)負(fù)得減區(qū)間.（3）在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立. 所以 在區(qū)間上恒成立.從而可得.

試題解析：【解析】
（1）由題意知函數(shù)的圖像關(guān)于.

所以函數(shù)是奇函數(shù).則即,

解得. 2分

（2）. 4分

當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由得：；

當(dāng)時(shí)，由得：. 7分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，無(wú)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是.

（3）因?yàn)?在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立.

所以 在區(qū)間上恒成立. 10分

因?yàn)?，

所以 . 11分

所以 . 13分

所以 若在區(qū)間上恒成立，的最大值為1. 14分

考點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).