Question

已知直線l經(jīng)過拋物線x²=4y的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：∠AOB為鈍角．
（Ⅱ）若△AOB的面積為4，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，聯(lián)立

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4=0，設(shè)直線l與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由x₁x₂+y₁y₂=-3＜0，證明∠AOB為鈍角．
（Ⅱ） 由（I）知：|AB|=

(1+k2)[(4k)2-4×(-4)]

=4（k²+1），O到直線AB的距離d=

1

k2+1

，由此利用三角形的面積能求出直線方程．

解答： （I）證明：依題意設(shè)直線l的方程為：y=kx+1（k必存在），
聯(lián)立

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4=0，
∵△=16k²+16＞0，
∴設(shè)直線l與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x1x2=-4，y1y2=

x12

4

x22

4

=1，
∴x₁x₂+y₁y₂=-3＜0，
依向量的數(shù)量積定義，cos∠AOB＜0，
∴∠AOB為鈍角．
（Ⅱ）解：由（I）知：|AB|=

(1+k2)[(4k)2-4×(-4)]

=4（k²+1），
O到直線AB的距離d=

1

k2+1

，
∴S△AOB=

1

2

|AB|d=2

k2+1

=4，
解得k=±

3

，
∴直線方程為y=

3

x+1，y=-

3

x+1．

點(diǎn)評：本題考查角為鈍角的證明，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．