Question

4．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，點D（0，$\sqrt{3}$）在橢圓M上，過原點O作直線交橢圓M于A、B兩點，且點A不是橢圓M的頂點，過點A作x軸的垂線，垂足為H，點C是線段AH的中點，直線BC交橢圓M于點P，連接AP
（Ⅰ）求橢圓M的方程及離心率；
（Ⅱ）求證：AB⊥AP．

Answer 1

分析 （I）由題意知c=1，b=$\sqrt{3}$，求得a=2，進(jìn)而得到橢圓方程和離心率；
（II）設(shè)A（x₀，y₀），P（x₁，y₁），則B（-x₀，-y₀），C（x₀，$\frac{{y}_{0}}{2}$），將A，P代入橢圓方程．兩式相減，由點B，C，P三點共線，可得直線PB，BC的斜率相等，化簡整理求得k_AB•k_PA=-1，即可得證；或求得k_PA•k_PB=-$\frac{3}{4}$，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，即可得證．

解答 解：（I）由題意知c=1，b=$\sqrt{3}$，
則a²=b²+c²=4，
所以橢圓M的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，橢圓M的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（II）證明：設(shè)A（x₀，y₀），P（x₁，y₁），
則B（-x₀，-y₀），C（x₀，$\frac{{y}_{0}}{2}$），
由點A，P在橢圓上，所以$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1①，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1②
點A不是橢圓M的頂點，②-①可得$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
法一：又k_PB=$\frac{{y}_{1}+{y}_{0}}{{x}_{1}+{x}_{0}}$，k_BC=$\frac{\frac{{y}_{0}}{2}+{y}_{0}}{{x}_{0}+{x}_{0}}$=$\frac{3{y}_{0}}{4{x}_{0}}$，且點B，C，P三點共線，
所以$\frac{{y}_{1}+{y}_{0}}{{x}_{1}+{x}_{0}}$=$\frac{3{y}_{0}}{4{x}_{0}}$，即$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{4（{y}_{1}+{y}_{0}）}{3（{x}_{1}+{x}_{0}）}$，
所以k_AB•k_PA=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$•$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=$\frac{4（{y}_{1}+{y}_{0}）}{3（{x}_{1}+{x}_{0}）}$•$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$
=$\frac{4（{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{0}}^{2}）}{3（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）}$=$\frac{4}{3}$•（-$\frac{3}{4}$）=-1．
即AB⊥AP．
法二：由已知AB，AP的斜率都存在，
k_PA•k_PB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$•$\frac{{y}_{1}+{y}_{0}}{{x}_{1}+{x}_{0}}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
又k_PB=k_BC=$\frac{3{y}_{0}}{4{x}_{0}}$，可得k_PA=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
則k_AB•k_PA=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$•（-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$）=-1，
即AB⊥AP．

點評 本題考查橢圓方程和離心率的求法，注意運用橢圓的焦距和點滿足橢圓方程，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，注意運用直線的斜率公式和點滿足橢圓方程，屬于中檔題．