Question

已知函數f（x）=e^1-x（2ax-a²）（其中a≠0）．
（Ⅰ）若函數f（x）在（2，+∞）上單調遞減，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）設函數f（x）的最大值為g（a），當a＞0時，求g（a）的最大值．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由于f′（x）=-e^1-x（2ax-a²-2a）=0，又a≠0，可得x=1+

a

2

，當a＞0時，f（x）在（-∞，1+

a

2

）上為增函數，在（1+

a

2

，+∞）上是減函數，既有1+

a

2

≤2，可解得0＜a≤2，當a＜0時，不合題意，從而得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，當a＞0時，g（a）=f（1+

a

2

）=2a•e-

a

2

，則g′（a）=（2-a）•e-

a

2

=0，解得a=2，則g（a）在（0，2）上為增函數，在（2，+∞）上為減函數，從而可求得g（a）的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=e^1-x（2ax-a²）得f′（x）=e^1-x（2ax-a²）+2ae^1-x=-e^1-x（2ax-a²-2a）=0，又a≠0，故x=1+

a

2

，
當a＞0時，f（x）在（-∞，1+

a

2

）上為增函數，在（1+

a

2

，+∞）上是減函數，
∴1+

a

2

≤2，即a≤2．
∴0＜a≤2，
當a＜0時，不合題意．
故a的取值范圍為（0，2]…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，當a＞0時，f（x）_max=f（1+

a

2

）=2a•e-

a

2

，
即g（a）=2a•e-

a

2

，
則g′（a）=（2-a）•e-

a

2

=0，解得a=2，
∴g（a）在（0，2）上為增函數，在（2，+∞）上為減函數，
∴g(a)max=g(2)=

4

e

…（13分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，考查了導數在最大值、最小值問題中的應用，屬于中檔題．