Question

8．已知在直角坐標系xOy中，設(shè)Q（x₁，y₁）是圓x²+y²=4上一個動點，點P（x₁²-y₁²，x₁y₁）的軌跡方程為C
（1）求曲線C的方程
（2）若直線l經(jīng)過點M（1，1），傾斜角為α，直線l與曲線C交于A，B兩點，求點M到A，B兩點的距離之積的最小值．

Answer 1

分析 （1）Q（x₁，y₁）是圓x²+y²=4上一個動點，可得${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$=4．設(shè)P（x，y），則x=x₁²-y₁²，y=x₁y₁，通過完全平方公式即可得出．
（2）由已知可得直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）．代入橢圓方程可得：（1+3sin²α）t²+（2cosα+8sinα）t-11=0，利用|MA|•|MB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）∵Q（x₁，y₁）是圓x²+y²=4上一個動點，∴${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$=4．
設(shè)P（x，y），則x=x₁²-y₁²，y=x₁y₁，
∴x²+4y²=$（{x}_{1}^{2}-{y}_{1}^{2}）^{2}$+4${x}_{1}^{2}{y}_{1}^{2}$=$（{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}）^{2}$=16，
化為：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，即為曲線C的方程．
（2）由已知可得直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）．
代入橢圓方程可得：（1+3sin²α）t²+（2cosα+8sinα）t-11=0，
∴t₁t₂=-$\frac{11}{1+3si{n}^{2}α}$．
∴|MA|•|MB|=|t₁t₂|=$\frac{11}{1+3si{n}^{2}α}$≥$\frac{11}{1+3}$=$\frac{11}{4}$．當且僅當sinα=1，即l⊥x軸時取等號．
∴點M到A，B兩點的距離之積的最小值為$\frac{11}{4}$．

點評 本題考查了坐標變換、橢圓的標準方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．