(2009•湖北模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=
1
2
an+n(n為奇數(shù))
an-2n(n為偶數(shù))
且bn=a2n-2(n∈N*
(1)求a2,a3,a4;
(2)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求其通項公式;
(3)若Cn=-nbn,Sn為為數(shù)列{Cn}的前n項和,求Sn-2.
分析:(1)分別將n=1,2,3,4代入到an+1=
1
2
an+n(n為奇數(shù))
an-2n(n為偶數(shù))
中即可得到a2,a3,a4的值.
(2)根據(jù)bn=a2n-2,然后進行整理即可得到bn+1=
1
2
bn,從而證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,進而可求出數(shù)列{bn}的通項公式.
(3)先根據(jù)(2)中{bn}的通項公式求出 Cn=-nbn,利用錯位相減法求得數(shù)列{Cn}的前n項和,進而求得Sn-2.
解答:(1)解:a2=
3
2
,a3=-
5
2
,a4=
7
4

(2)證明:
bn+1
bn
=
a2n+2-2
a2n-2
=
1
2
a2n+1+2n+1-2
a2n-2
=
1
2
(a2n-4n)+2n-1
a2n-2

=
1
2
a2n-1
a2n-2
=
1
2
,
又b1=a2-2=-
1
2
∴數(shù)列{bn}是公比為
1
2
的等比數(shù)列
bn=(-
1
2
)•(
1
2
)n-1
=-(
1
2
)n

(3)由(2)知cn=n(
1
2
)n

Sn=
1
2
+2×(
1
2
)2
+3×(
1
2
)3
+…+n(
1
2
)n

1
2
Sn=(
1
2
)2
+2×(
1
2
)3
+…+(n-1)(
1
2
)n
+n(
1
2
)n+1

①-②得:
1
2
Sn=
1
2
+(
1
2
)2
+(
1
2
)3
+…+(
1
2
)n
-n(
1
2
)n+1

=
1
2
[1-(
1
2
)
n
]
1-
1
2
-n•
1
2n+1
=1-
1
2n
-
n
2n+1

∴Sn=2-
2
2n
-
n
2n
=2-
n+2
2n

∴Sn-2=-
n+2
2n
點評:此題考查了有數(shù)列的遞推關系求前4項的數(shù)值,等比數(shù)列的定義及通項公式,錯位相減法求數(shù)列的前n項和,考查運算能力,屬中檔題.
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π
2
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π
3
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④方程f(x)=0在[-9,9]上有4個根.
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①②④
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