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6.已知f(x)=lnx-ax(a∈R),g(x)=x3-3x
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)任意的x1∈[1,e],總存在x2∈[0,2],使f(x1)=g(x2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)對(duì)參數(shù)a分類討論,得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)根據(jù)g(x)的單調(diào)性,可得出x2∈[0,2],g(x)=x3-3x∈[-2,2],要滿足題意,只需使x1∈[1,e],最小值大于-2,且最大值小于2即可.

解答 解:(1)f(x)=lnx-ax,
∴f'(x)=1x-a,
當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)≥0,f(x)遞增;
遞增區(qū)間為(0,+∞)
當(dāng)a>0時(shí),
 當(dāng)x>1a時(shí),f'(x)<0,f(x)遞減;
 當(dāng)0<x<1a時(shí),f'(x)>0,f(x)遞增;
遞增區(qū)間為(0,1a),遞減區(qū)間為(1a,+∞);
(2)x2∈[0,2],g(x)=x3-3x∈[-2,2],
∴當(dāng)a≤0時(shí),
f(1)≥-2,f(e)≤2,
∴-1e≤a≤0;
當(dāng)a>0時(shí),
 若1a≤2即a≥12,
∴f(1a)≥-2,f(1)≤2,f(e)≤2,
∴e≥a≥12;
 若1a>2即a<12
∴f(1)≤2,f(e)≥-2,
∴0<a≤3e,
∴a的范圍為-1e≤a≤3e或e≥a≥12

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)恒成立問題的理解.

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