Question

6．已知f（x）=lnx-ax（a∈R），g（x）=x³-3x
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意的x₁∈[1，e]，總存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）=g（x₂），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)對參數(shù)a分類討論，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)g（x）的單調(diào)性，可得出x₂∈[0，2]，g（x）=x³-3x∈[-2，2]，要滿足題意，只需使x₁∈[1，e]，最小值大于-2，且最大值小于2即可．

解答 解：（1）f（x）=lnx-ax，
∴f'（x）=$\frac{1}{x}$-a，
當(dāng)a≤0時，f'（x）≥0，f（x）遞增；
遞增區(qū)間為（0，+∞）
當(dāng)a＞0時，
 當(dāng)x＞$\frac{1}{a}$時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
 當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{a}$時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），遞減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（2）x₂∈[0，2]，g（x）=x³-3x∈[-2，2]，
∴當(dāng)a≤0時，
f（1）≥-2，f（e）≤2，
∴-$\frac{1}{e}$≤a≤0；
當(dāng)a＞0時，
 若$\frac{1}{a}$≤2即a≥$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{1}{a}$）≥-2，f（1）≤2，f（e）≤2，
∴e≥a≥$\frac{1}{2}$；
 若$\frac{1}{a}$＞2即a＜$\frac{1}{2}$，
∴f（1）≤2，f（e）≥-2，
∴0＜a≤$\frac{3}{e}$，
∴a的范圍為-$\frac{1}{e}$≤a≤$\frac{3}{e}$或e≥a≥$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和對恒成立問題的理解．