Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=-cos²x-2tsinx+2t²-6t+2（x∈R），其中t∈R，將f（x）的最小值記為g（t）．
（1）求g（t）的表達式；
（2）當(dāng)-1≤t≤1時，要使關(guān)于t的方程g（t）=kt有且僅有一個實根，求實數(shù)k的取值范圍．
（3）問a取何值時，方程g（sinx）=a-5sinx在[0，2π）上有兩解？

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得g（t）的表達式．
（2）令t=sinx∈[-1，1]，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得g（t）=kt有且僅有一個實根時實數(shù)k的取值范圍．
（3）令u=sinθ，u∈[-1，1]，則由題意可得 g（u）=u²-6u+1=a-5u 有2個解，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的范圍．

解答 解：（1）由已知有：f（x）=-cos²x-2t•sinx+2t²-6t+2=sin²x-2tsinx+2t²-6t+1=（sinx-t）²+t²-6t+1，
由于x∈R，∴-1≤sinx≤1，
∴當(dāng) t＜-1時，則當(dāng)sinx=-1時，$f{（x）_{min}}=2{t^2}-4t+2$；
當(dāng)-1≤t≤1時，則當(dāng)sinx=t時，$f{（x）_{min}}={t^2}-6t+1$；
當(dāng) t＞1時，則當(dāng)sinx=1時，$f{（x）_{min}}=2{t^2}-8t+2$；
綜上，$g（t）=\left\{\begin{array}{l}2{t^2}-4t+2，t∈（-∞，-1）\\{t^2}-6t+1，t∈[-1，1]\\ 2{t^2}-8t+2，t∈（1，+∞）\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)-1≤t≤1時，g（t）=t²-6t+1，方程g（t）=kt，即：t²-6t+1=kt，
即方程 t²-（k+6）t+1=0在區(qū)間[-1，1]有且僅有一個實根，
令 q（t）=t²-（k+6）t+1，則有：q（-1）q（1）≤0，得（k+8）（k+4）≥0，
求得k∈（-∞，-8]∪[-4，+∞）．
（3）令u=sinθ，u∈[-1，1]，則由題意可得 g（u）=u²-6u+1=a-5u，
即關(guān)于u的方程u²-u+1=a 有2個根．
根據(jù)函數(shù)y=u²-u+1的圖象的對稱軸為x=$\frac{1}{2}$時，y=$\frac{3}{4}$，且當(dāng)x=1時，y=1；當(dāng)x=-1時，y=3，
∴$a=\frac{3}{4}$，或1＜a＜3．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．