Question

（2012•武清區(qū)一模）己知非零向量

m

，

n

滿足|

m

+

n

|=2|

m

-

n

|，則

m

，

n

最大夾角的正弦值為

4

5

．

Answer 1

分析：先根據(jù)已知條件平方整理得到

m

•

n

=

3

10

（

m

2  +

n

2）；再結(jié)合基本不等式以及同角三角函數(shù)之間的關系即可求出結(jié)論．

解答：解：設

m

，

n

夾角為θ，
∵|

m

+

n

|=2|

m

-

n

|，
∴

m

2+2

m

•

n

+

n

2=4（

m

2-2

m

•

n

+

n

2）⇒

m

•

n

=

3

10

（

m

2  +

n

2）≥

3

10

×2|

m

|•|

n

|；
∴

m

•

n

=|

m

|•|

n

|cosθ≥

3

10

×2|

m

|•|

n

|；⇒cosθ≥

3

5

；
又cos²θ+sin²θ=1；
∴sinθ≤

4

5

．
即

m

，

n

最大夾角的正弦值為

4

5

．
故答案為：

4

5

．

點評：本題主要考察數(shù)量積表示兩個向量的夾角以及基本不等式的應用，是對基礎知識的綜合考察，屬于基礎題目．