Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝3，AC⊥BC，點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上．

（1）若M是AB中點(diǎn)，證明AC1∥平面B1CM；

（2）當(dāng)BM時(shí)，求直線(xiàn)C1A1與平面B1MC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）連結(jié)BC1，交B1C于E，連結(jié)ME．利用三角形的中位線(xiàn)證得，由此證得平面.

（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量，計(jì)算出線(xiàn)面角的正弦值.

（1）證明：連結(jié)BC1，交B1C于E，連結(jié)ME．

∵側(cè)面BB1C1C為矩形，

∴E為BC1的中點(diǎn)，又M是AB的中點(diǎn)，

∴ME∥AC1．

又ME平面B1CM，AC1平面B1CM，

∴AC1∥平面B1CM．

（2）以C為原點(diǎn)，以CB，CA，CC1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz如圖所示：

則B1（0，3，3），A1（3，0，3），A（3，0，0），B（0，3，0），C1（0，0，3），AB＝3，∴BMBA．

∴（0，3，3），（1，2，0），（3，0，0）．

設(shè)平面B1MC的法向量為（x，y，z），則0，，

∴，令z＝1得（2，﹣1，1）．

∴cos，．

故當(dāng)BM時(shí)，直線(xiàn)C1A1與平面B1MC所成角的正弦值為．