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14.四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面SBC⊥底面ABCD.已知:∠ABC=45°,AB=2,BC=22,SB=SC,直線SD與平面ABCD所成角的正弦值為1111.O為BC的中點(diǎn).
(1)證明:SA⊥BC;
(2)求四棱錐S-ABCD的體積.

分析 (1)連結(jié)AO,由SB=SC得SO⊥BC,由余弦定理計(jì)算AO,根據(jù)勾股定理的逆定理可證AO⊥BC,于是BC⊥平面SAO,得出SA⊥BC;
(2)由側(cè)面SBC⊥底面ABCD得SO⊥平面ABCD,即SO為棱錐的高,由勾股定理計(jì)算DO,由于sin∠SDO=1111,得出SO.

解答 證明:(1連結(jié)AO,
∵SB=SC,O是BC中點(diǎn),∴SO⊥BC.
∵AB=2,BO=12BC=2,∠ABC=45°,
∴AO=\sqrt{A{B}^{2}+O{B}^{2}-2AB•OBcos45°}=\sqrt{2}
∴AO2+OB2=AB2,∴OB⊥OA,
又AO?平面SAO,SO?平面SAO,AO∩SO=O,
∴BC⊥平面SAO,∵SA?平面SAO,
∴SA⊥BC.
解:(2)∵SO⊥平面ABCD,
∴∠SDO是SD與平面ABCD所成的角,SO⊥OD.
∴sin∠SDO=\frac{\sqrt{11}}{11},
∴tan∠SDO=\frac{SO}{OD}=\frac{\sqrt{10}}{10}
∵AO⊥BC,AD∥BC,
∴AD⊥AO,
∴OD=\sqrt{A{O}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{6}
∴SO=OD•tan∠SDO=\frac{\sqrt{15}}{5}
∴VS-ABCD=\frac{1}{3}S四邊形ABCD•SD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\frac{\sqrt{15}}{5}=\frac{\sqrt{30}}{15}

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定,棱錐的體積計(jì)算,屬于中檔題.

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