Question

14．四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD．已知：∠ABC=45°，AB=2，BC=2$\sqrt{2}$，SB=SC，直線SD與平面ABCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{11}}{11}$．O為BC的中點(diǎn)．
（1）證明：SA⊥BC；
（2）求四棱錐S-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AO，由SB=SC得SO⊥BC，由余弦定理計(jì)算AO，根據(jù)勾股定理的逆定理可證AO⊥BC，于是BC⊥平面SAO，得出SA⊥BC；
（2）由側(cè)面SBC⊥底面ABCD得SO⊥平面ABCD，即SO為棱錐的高，由勾股定理計(jì)算DO，由于sin∠SDO=$\frac{\sqrt{11}}{11}$，得出SO．

解答 證明：（1連結(jié)AO，
∵SB=SC，O是BC中點(diǎn)，∴SO⊥BC．
∵AB=2，BO=$\frac{1}{2}BC$=$\sqrt{2}$，∠ABC=45°，
∴AO=$\sqrt{A{B}^{2}+O{B}^{2}-2AB•OBcos45°}$=$\sqrt{2}$．
∴AO²+OB²=AB²，∴OB⊥OA，
又AO?平面SAO，SO?平面SAO，AO∩SO=O，
∴BC⊥平面SAO，∵SA?平面SAO，
∴SA⊥BC．
解：（2）∵SO⊥平面ABCD，
∴∠SDO是SD與平面ABCD所成的角，SO⊥OD．
∴sin∠SDO=$\frac{\sqrt{11}}{11}$，
∴tan∠SDO=$\frac{SO}{OD}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∵AO⊥BC，AD∥BC，
∴AD⊥AO，
∴OD=$\sqrt{A{O}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
∴SO=OD•tan∠SDO=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴V_S-ABCD=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABCD}•SD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\frac{\sqrt{15}}{5}$=$\frac{\sqrt{30}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．