精英家教網(wǎng)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,
(1)用平面A1BC1截去一角后,求剩余部分的體積;
(2)求A1B和B1C所成的角.
分析:(1)先求出截下部分體積,剩余部分體積=正方體的體積-截下部分體積,從而得出結(jié)果.
(2)連接D1C和D1B1,將A1B平移到D1C,再利用中位線進行平移,使兩條異面直線移到同一點,得到A1B與B1C所成的角,再在等邊三角形△D1CB1求之即可.
解答:解:(1)∵BB1⊥平面A1B1C1D1,
∴△A1B1C1是棱錐B-A1B1C1的底,
BB1是棱錐的高,△A1B1C1的面積=
1
2
a2
,
截下部分體積=
1
3
BB1×△A1B1C1
的面積=
1
3
a•
1
2
a2=
a3
6
,正方體體積=a3,
剩余部分體積=a3-
1
6
a3=
5
6
a3

(2)連接D1C和D1B1,
∴四邊形A1BCD1是平行四邊形,
∴A1B∥D1C,∴∠B1CD1即A1B與B1C所成的角,
∵正方體各面上對角線的長度相等,即D1B1=B1C=D1C,
∴△D1CB1是等邊三角形
∴∠D1CB1=60°,
∴A1B與B1C成600的角.
點評:本題主要考查了異面直線及其所成的角,平移法是研究異面直線所成的角的最常用的方法,屬于基礎題.
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如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點P在平面DD1C1C內(nèi),PD1=PC1=
2
.求證:
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3
6
3
6

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