Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到兩定點(diǎn)F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離之和為2$\sqrt{2}$，過點(diǎn)F₁作直線與M的軌跡交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）求△ABF₂的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的定義即可求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）根據(jù)橢圓的定義將三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為∴|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，即可求△ABF₂的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離之和為2$\sqrt{2}$，
∴|MF₁|+|MF₂|=2$\sqrt{2}$＞|F₁F₂|=2，
則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓；
則2a=2$\sqrt{2}$，c=1，
即a=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=2-1-1，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）∵A，B都在橢圓上，
∴|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，
則△ABF₂的周長(zhǎng)l=|AB|+|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=4a=4$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查點(diǎn)的軌跡的判斷，以及三角形周長(zhǎng)的計(jì)算，根據(jù)橢圓的定義是解決本題的關(guān)鍵．