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4.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AB⊥AD,AD∥BC,AD=12BC=2,E在BC上,且BE=12AB=1,側(cè)棱PA⊥平面ABCD.
(1)求證:平面PDE⊥平面PAC;
(2)若△PAB為等腰直角三角形.
(i)求直線PE與平面PAC所成角的正弦值;
(ii)求二面角A-PC-D的余弦值.

分析 (1)由AB⊥PA,AB⊥AD,建立建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明平面PDE⊥平面PAC.
(2)(i)求出平面PAC的一個(gè)法向量和PE=212,利用向量法能求出直線PE與平面PAC所成角的正弦值.
(ii)求出平面PCD的一個(gè)法向量,利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值.

解答 (本小題滿分13分)
證明:(1)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,
 又∵AB⊥AD,故可建立建立如圖所示坐標(biāo)系.
由已知D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0),P(0,0,λ),(λ>0)
AC=(2,4,0),AP=(0,0,λ),DE=(2,-1,0),
DEAC=4-4+0=0,DEAP=0.…(3分),
∴DE⊥AC,DE⊥AP,∴ED⊥平面PAC,
∵ED?平面PDE,平面PDE⊥平面PAC.…(4分)
解:(2)(i)由(1)得,平面PAC的一個(gè)法向量是DE=(2,-1,0),
∵△PAB為等腰直角三角形,故PA=2,PE=212
設(shè)直線PE與平面PAC所成的角為θ,
sinθ=|{cos<\overrightarrow{PE},\overrightarrow{DE}>}|=\frac{|\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{DE}|}{|\overrightarrow{PE}|•|\overrightarrow{DE}|}=\frac{3}{\sqrt{5}•3}=\frac{\sqrt{5}}{5},
∴直線PE與平面PAC所成角的正弦值為\frac{\sqrt{5}}{5}.…(8分)
(ii)設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為\overrightarrow{n}=(x,y,z),
\overrightarrow{DC}=(2,2,0),\overrightarrow{DP}=(0,-2,2),
\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=-2y+2z=0}\end{array}\right.,令x=1,則\overrightarrow{n}=(1,-1,-1),…(10分)
∴cos<\overrightarrow{n},\overrightarrow{DE}>=\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{DE}|}=\frac{2+1}{\sqrt{3}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}.…(11分)
∵二面角A-PC-D的平面角是銳角,
∴二面角A-PC-D的余弦值為\frac{\sqrt{15}}{5}.…(13分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明,考查線面角的正弦值和二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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