Question

17．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，a=2$\sqrt{3}$，$\frac{asinA+bsinA-csinC}{sinBsinC}$=4，若b∈[1，3]，則c的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由正弦定理化簡已知，整理可得a²-c²=4bsinC-b²，又由余弦定理可得a²-c²=2abcosC-b²，結(jié)合已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosC=$\frac{1}{2}$，利用余弦定理可求c²=（b-$\sqrt{3}$）²+9，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合范圍b∈[1，3]，即可求值得解．

解答 解：∵$\frac{asinA+bsinA-csinC}{sinBsinC}$=4，可得：asinA+bsinA-csinC=4sinBsinC，
∴由正弦定理可得：a²+ab-c²=4bsinC，整理可得：a²-c²=4bsinC-b²，
又∵由余弦定理可得：a²+b²-c²=2abcosC，可得：a²-c²=2abcosC-b²，
∴4bsinC-b²=2abcosC-b²，整理可得：2sinC=acosC，
∴由a=2$\sqrt{3}$，解得：tanC=$\sqrt{3}$，cosC=$\frac{1}{2}$，
∴c²=a²+b²-2abcosC=12+b²-2$\sqrt{3}$b=（b-$\sqrt{3}$）²+9，
∵b∈[1，3]，
∴當(dāng)b=$\sqrt{3}$時(shí)，c取最小值為3．
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．