Question

8．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ-2cosθ．
（1）求曲線C的參數(shù)方程；
（2）當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時，求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由ρ=2sinθ-2cosθ，可得ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ．把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，ρ²=x²+y²代入可得：曲線C的直角坐標(biāo)方程．利用cos²φ+sin²φ=1即可標(biāo)準(zhǔn)曲線C的直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程．
（2）當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時，直線l的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，化成普通方程為y=x+2．與圓的方程聯(lián)立解出，進(jìn)而化為極坐標(biāo)．

解答 解：（1）由ρ=2sinθ-2cosθ，可得ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ．
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，ρ²=x²+y²代入可得：曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2y-2x，
標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）²+（y-1）²=2．
曲線C的直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{2}cosφ}\\{y=1+\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）．
（2）當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時，直線l的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$
化成普通方程為y=x+2．

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2y-2x}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$．
利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，ρ²=x²+y²可得：直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（2，$\frac{π}{2}$），（2，π）．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、圓的方程的應(yīng)用、曲線的交點(diǎn)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．