Question

12．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$（a∈R）
（Ⅰ）若a=-4，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥$\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}+\frac{1}{2}}{lnx}$，x＞1，在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，令g（x）=$\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}+\frac{1}{2}}{lnx}$，x＞1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）a=-4時(shí)，f（x）=-4lnx+$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$，（x＞0），
f′（x）=-$\frac{4}{x}$+x=$\frac{（x+2）（x-2）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增；
（Ⅱ）若f（x）≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
x=1時(shí)，成立，x＞1時(shí)，
即a≥$\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}+\frac{1}{2}}{lnx}$在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}+\frac{1}{2}}{lnx}$，x＞1，
則g′（x）=$\frac{-4lnx+2x-\frac{2}{x}}{{4（lnx）}^{2}}$，
令h（x）=-4lnx+2x-$\frac{2}{x}$，（x＞1），
h′（x）=-4lnx-$\frac{2{（x}^{2}-1）}{{x}^{2}}$＜0，
∴h（x）在（1，+∞）遞減，
∴h（x）＜h（1）=0，
∴g′（x）＜0，
g（x）在（1，+∞）遞減，
而$\underset{lim}{x→1}$$\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}+\frac{1}{2}}{lnx}$=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{-x}{\frac{1}{x}}$=-1，
故g（x）＜g（1）=-1，
∴a≥-1，
故a的最小值是-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的意義以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．