設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),f(1)=0,g(x)=ax+b.
(1)求證:函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有兩個交點;
(2)設(shè)f(x)與g(x)的圖象交點A、B在x軸上的射影為A1、B1,求|A1B1|的取值范圍;
(3)求證:當x≤-
3
時,恒有f(x)>g(x).
分析:(1)由f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),f(1)=0,可得a>0,c<0,聯(lián)立方程y=f(x)=ax2+bx+c和y=g(x)=ax+b,并判斷△的符號,即可判斷出函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象交點的個數(shù);
(2)設(shè)A、B的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2),由數(shù)軸上兩點之間的距離及二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可以求出|A1B1|的取值范圍;
(3)不妨設(shè)x1>x2,則由(2)中
3
2
<x1-x2<2
3
,及-2<
c
a
<-
1
2
,結(jié)合a>b>c,可得-
3
<x2≤0,又由a>0,結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得,當x≤-
3
時,f(x)-g(x)>0恒成立.
解答:證明:(1)由 y=f(x)=ax2+bx+c,y=g(x)=ax+b得
ax2+(b-a)x+(c-b)=0  (*)
△=(b-a)2-4a (c-b)
∵f(x)=ax2+bx+c,f(1)=0
∴f(1)=a+b+c=0 …(3分)
又a>b>c
∴3a>a+b+c>3c即a>0,c<0
∴b-a<0,c-b<0,a>0
∴△=(b-a)2-4a(c-b)>0
故函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有兩個交點;…(5分)
解:(2)設(shè)A、B的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2),
則x1、x2是方程(*)的兩根
故x1+x2=-
b-a
a
,
x1x2=
c-b
a
,
所以|A1B1|=|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2

=
(
b-a
a
)
2
-4
c-b
a
=
(b-a)2-4a(c-b)
a

又a+b+c=0,故b=-(a+c)
因而(b-a)2-4a(c-b)=(-2a-c)2-4a(a+2c)=c2-4ac
故|A1B1|=
c2-4ac
a
=
(
c
a
)
2
-4(
c
a
)

=
(
c
a
-2)
2
-4
…(8分)
∵a>b>c,a+b+c=0
∴a>-(a+c)>c
∴-2<
c
a
<-
1
2

∴|A1B1|的取值范圍是(
3
2
,2
3
)…(10分).
證明:(3)不妨設(shè)x1>x2,則由(2)知:
3
2
<x1-x2<2
3

則x1+x2=-
c
a
=1-
b
a

由a>b>c得:
c
a
b
a
<1,
故0<1-
b
a
<1-
c
a
…(12分)
又-2<
c
a
<-
1
2
,
3
2
<1-
c
a
<3,
因而0<1-
b
a
3
2

即0<x1-x2
3
2

由①、②得:-
3
<x2≤0,
即方程(*),也就是方程f(x)-g(x)=0的較小根的范圍是(-
3
,0].
又a>0,故當x≤-
3
時,
f(x)-g(x)>0恒成立,
即當x≤-
3
時,恒有f(x)>g(x) …(14分).
點評:本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)等有關(guān)知識,以及綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),及二次函數(shù)、二次不等式之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.
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x1+x2
2
)>
1
2
[f(x1)+f(x2)],則稱f(x)為定義域上的凸函數(shù).
(1)設(shè)f(x)=ax2(a>0),試判斷f(x)是否為其定義域上的凸函數(shù),并說明原因;
(2)若函數(shù)f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)為其定義域上的凸函數(shù),試求出實數(shù)a的取值范圍.

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設(shè)f(x)=ax2+x-a,g(x)=2ax+5-3a
(1)若f(x)在x∈[0,1]上的最大值是
54
,求a的值;
(2)若對于任意x1∈[0,1],總存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范圍;
(3)若f(x)=g(x)在x∈[0,1]上有解,求a的取值范圍.

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對于給定正數(shù)k,定fk(x)=
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k    (f(x)>k)
,設(shè)f(x)=ax2-2ax-a2+5a+2,對任意x∈R和任意a∈(-∞,0)恒有fk(x)=
f(x)
,則( 。

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