Question

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz．正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在面對(duì)角線A₁B上，點(diǎn)Q在面對(duì)角線B₁C上．

(1)當(dāng)點(diǎn)P是對(duì)角線A₁B的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在對(duì)角線B₁C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究|PQ|的最小值；

(2)當(dāng)點(diǎn)Q是對(duì)角線B₁C的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)角線A₁B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究|PQ|的最小值；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線A₁B上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在對(duì)角線B₁C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究|PQ|的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：如題圖，由題意知：點(diǎn)A1(1，0，1)、點(diǎn)B1(1，1，1)、點(diǎn)B(1，1，0)、點(diǎn)C(0，1，0)． 　　(1)當(dāng)點(diǎn)P是對(duì)角線A1B的中點(diǎn)，則由投影概念知點(diǎn)P(1，，)． 　　點(diǎn)Q在對(duì)角線B1C上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q(a，1，a)，a∈[0，1]． 　　由空間兩點(diǎn)間的距離公式 　　得|PQ|＝． 　　當(dāng)a＝時(shí)，|PQ|取得最小值為，此時(shí)點(diǎn)Q(，1，)． 　　(2)當(dāng)點(diǎn)Q是對(duì)角線B1C的中點(diǎn)，則由投影概念知點(diǎn)Q(，1，)，點(diǎn)P在對(duì)角線A1B上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P(1，a，1－a)，a∈[0，1]．由空間兩點(diǎn)間距離公式， 　　得|PQ|＝ 　　當(dāng)a＝時(shí)，|PQ|取得最小值為，此時(shí)點(diǎn)P(1，，)． 　　(3)當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線A1B上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在對(duì)角線B1C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P(1，a，1－a)、點(diǎn)Q(b，1，b)，a、b∈[0，1]．由空間兩點(diǎn)間距離公式得 　　|PQ|＝ 　　 　　當(dāng)b＝時(shí)，代入a－＋1＝0得a＝，即當(dāng)a＝b＝時(shí)，|PQ|取得最小值為． 　　此時(shí)點(diǎn)P(1，，)、Q(，1，)． 　　深化升華：本題通過消元利用二次函數(shù)配方法求最值．

提示：

考查空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用及函數(shù)思想在解析幾何中的應(yīng)用．