Question

9．已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n²-（2a_n+1-1）a_n-2a_n+1=0．
（1）求a₂，a₃；
（2）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由數(shù)列的遞推公式，令n=1可得a₁²-（2a₂-1）a₁-2a₂=0，將a₁=1代入可得a₂的值，進而令n=2可得a₂²-（2a₃-1）a₂-2a₃=0，將a₂=$\frac{1}{2}$代入計算可得a₃的值，即可得答案；
（2）根據(jù)題意，將a_n²-（2a_n+1-1）a_n-2a_n+1=0變形可得（a_n-2a_n+1）（a_n+a_n+1）=0，進而分析可得a_n=2a_n+1或a_n=-a_n+1，結合數(shù)列各項為正可得a_n=2a_n+1，結合等比數(shù)列的性質可得{a_n}是首項為a₁=1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式計算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，a_n²-（2a_n+1-1）a_n-2a_n+1=0，
當n=1時，有a₁²-（2a₂-1）a₁-2a₂=0，
而a₁=1，則有1-（2a₂-1）-2a₂=0，解可得a₂=$\frac{1}{2}$，
當n=2時，有a₂²-（2a₃-1）a₂-2a₃=0，
又由a₂=$\frac{1}{2}$，解可得a₃=$\frac{1}{4}$，
故a₂=$\frac{1}{2}$，a₃=$\frac{1}{4}$；
（2）根據(jù)題意，a_n²-（2a_n+1-1）a_n-2a_n+1=0，
變形可得（a_n-2a_n+1）（a_n+1）=0，
即有a_n=2a_n+1或a_n=-1，
又由數(shù)列{a_n}各項都為正數(shù)，
則有a_n=2a_n+1，
故數(shù)列{a_n}是首項為a₁=1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
則a_n=1×（$\frac{1}{2}$）^n-1=$\frac{1}{2}$^n-1，
故a_n=$\frac{1}{2}$^n-1．

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式，關鍵是轉化思路，分析得到a_n與a_n+1的關系．