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13.如圖所示的多面體是由一個(gè)以四邊形ABCD為地面的直四棱柱被平面A1B1C1D1所截面成,若AD=DC=2,AB=BC=23,∠DAB=∠BCD=90°,且AA1=CC1=32;
(1)求二面角D1-A1B-A的大�。�
(2)求此多面體的體積.

分析 (1)建立如圖的空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法進(jìn)行求解即可.
(2)根據(jù)分割法將多面體分割成兩個(gè)四棱錐,根據(jù)四棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.

解答 解:(1)建立如圖的空間坐標(biāo)系,由題意得A1(0,0,32),B(0,23,0),C1(-3,3,32),
BA1=(0,-23,32),BC1=(-3,3,32),
設(shè)平面D1A1B的法向量為n=(u,v,w),則{nBA1=0nBC1=0,即{23u+32v=03u+3v+32w=0,
令v=3,則u=1,w=4,
n=(1,3,4),
平面A1BA的法向量為m=(1,0,0),
則cos<m,n>=mn|m||n|=11×1+3+16=120=510,
則二面角D1-A1B-A的大小為arccos510
(2)設(shè)D1(-2,0,k),則A1D1=(-2,0,h-,32),
A1D1n=0,則(-2,0,h-32)•(1,3,4)=-2+4h-6=0,得h=2,
由題意知平面BD1D將多面體分成兩個(gè)體積相等的四棱錐B-D1DCC1和B-D1DAA1,
∵AA1⊥平面ABCD,∠DAB=90°,
∴AB⊥平面D1DCC1,
則四邊形D1DAA1是直角梯形,
SD1DAA1=12×32+2×2=72,VBD1DAA1=13×72×23=733,
則多面體的體積為1433

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間二面角的求解以及多面體的體積的計(jì)算,建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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