分析 (1)建立如圖的空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法進(jìn)行求解即可.
(2)根據(jù)分割法將多面體分割成兩個(gè)四棱錐,根據(jù)四棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.
解答 解:(1)建立如圖的空間坐標(biāo)系,由題意得A1(0,0,32),B(0,2√3,0),C1(-3,√3,32),
→BA1=(0,-2√3,32),→BC1=(-3,√3,32),
設(shè)平面D1A1B的法向量為→n=(u,v,w),則{→n•→BA1=0→n•→BC1=0,即{−2√3u+32v=0−3u+√3v+32w=0,
令v=√3,則u=1,w=4,
即→n=(1,√3,4),
平面A1BA的法向量為→m=(1,0,0),
則cos<→m,→n>=→m•→n|→m||→n|=11×√1+3+16=1√20=√510,
則二面角D1-A1B-A的大小為arccos√510.
(2)設(shè)D1(-2,0,k),則→A1D1=(-2,0,h-,32),
而→A1D1•→n=0,則(-2,0,h-32)•(1,√3,4)=-2+4h-6=0,得h=2,
由題意知平面BD1D將多面體分成兩個(gè)體積相等的四棱錐B-D1DCC1和B-D1DAA1,
∵AA1⊥平面ABCD,∠DAB=90°,
∴AB⊥平面D1DCC1,
則四邊形D1DAA1是直角梯形,
S△D1DAA1=12×(32+2)×2=72,VB−D1DAA1=13×72×2√3=7√33,
則多面體的體積為14√33.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間二面角的求解以及多面體的體積的計(jì)算,建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大.
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A. | 323 | B. | 16-\frac{2π}{3} | C. | \frac{40}{3} | D. | 16-\frac{8π}{3} |
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A. | \frac{1}{3} | B. | \frac{1}{2} | C. | 1 | D. | \frac{3}{2} |
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A. | [\frac{21}{4},7] | B. | [0,12] | C. | [3,\frac{21}{4}] | D. | [0,7] |
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