Question

已知函數(shù)f（x）=|x+1|+2|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：帶絕對(duì)值的函數(shù)

專(zhuān)題：選作題,不等式

分析：（Ⅰ）利用絕對(duì)值的幾何意義，寫(xiě)出分段函數(shù)，即可解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）不等式f（x）≥|a+1|對(duì)任意的x∈R恒成立等價(jià)于|a+1|≤2，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（I）f(x)=

-3x+1，x≤-1 -x+3，-1＜x≤1 3x-1，x＞1

．…（1分）
當(dāng)x≤-1時(shí)，由-3x+1＜4得x＞-1，此時(shí)無(wú)解；
當(dāng)-1＜x≤1時(shí)，由-x+3＜4得x＞-1，∴-1＜x≤1；
當(dāng)x＞1時(shí)，由3x-1＜4得x＜

5

3

，∴1＜x＜

5

3

．…（4分）
綜上，所求不等式的解集為{x|-1＜x＜

5

3

}．…（5分）
（II）由（I）的函數(shù)解析式可以看出函數(shù)f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，故f（x）在x=1處取得最小值，最小值為f（1）=2，…（7分）
不等式f（x）≥|a+1|對(duì)任意的x∈R恒成立等價(jià)于|a+1|≤2，
即-2≤a+1≤2，解得-3≤a≤1，故a的取值范圍為{a|-3≤a≤1}．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，絕對(duì)值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的不等式組來(lái)解，體現(xiàn)了分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．