函數(shù)f(x)=
x2+a(x≤0)
4sinx(0<
x<π)

①f(x)在(-∞,π)內(nèi)連續(xù),則a=
0
0

②若①成立,則集合{x|f(f(x))=0}元素的個(gè)數(shù)有
5
5
分析:①根據(jù)f(x)在(-∞,π)內(nèi)連續(xù)建立等式關(guān)系,解之即可求出a;
②根據(jù)分段函數(shù)f(x)解析式,我們結(jié)合集合元素要滿足的性質(zhì)f(f (x))=0,易通過(guò)分類討論求了所有滿足條件的x的值,進(jìn)而確定集合中元素的個(gè)數(shù).
解答:解:①∵f(x)在(-∞,π)內(nèi)連續(xù),
∴f(0)=a=4sin0
即a=0
故答案為:0
f(x)=
x2    (x≤0)
4sinx(0<x<π)

當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=0可得x=0
當(dāng)0<x≤π時(shí),若f(x)=4sinx=0,則sinx=0,則x=π
當(dāng)x≤0時(shí),若f(x)=x2=π,則x=-
π
,
當(dāng)0<x≤π時(shí),若f(x)=4sinx=π,則sinx=
π
4

,則x=arcsin
π
4
,π-arcsin
π
4

又∵f[f (x)]=0
∴f (x)=0,或f (x)=π
∴x=-
π
,或x=0,或x=arcsin
π
4
,或 π-arcsin
π
4
,或x=π
故答案為:5
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)的連續(xù)性,以及集合中元素的個(gè)數(shù)及分段函數(shù)的函數(shù)值,其中根據(jù)分段函數(shù)的解析式,利用分類討論的思想構(gòu)造關(guān)于x的方程是解答本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.
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[-3,1]
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12
x
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5
5

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