(2013•汕頭一模)已知函數(shù)f(x)=x2-lnx.
(1)求曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間:
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-x2+ax,a>0,若x∈(O,e]時(shí),g(x)的最小值是3,求實(shí)數(shù)a的值.(e是為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
分析:(1)欲求在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程,只須求出其斜率的值即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問(wèn)題解決.
(2)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)小于0求出自變量x在定義域內(nèi)的取值范圍,則原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間可求.
(3)求導(dǎo)函數(shù),分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)g(x)的最小值是3,即可求出a的值.
解答:解:(1)∵f(x)=x2-lnx
∴f′(x)=2x-
1
x

∴f'(1)=1.
又∵f(1)=1,
∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-1=x-1.即x-y=0.
(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x2-lnx的定義域?yàn)椋?,+∞),
由f′(x)=2x-
1
x
<0,得0<x<
2
2

所以函數(shù)f(x)=x2-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,
2
2
).
(3)∵g(x)=ax-lnx,∴g′(x)=
ax-1
x
,令g′(x)=0,得x=
1
a
,
①當(dāng)
1
a
≥e時(shí),即0<a≤
1
e
時(shí),g′(x)=
ax-1
x
≤0在(0,e]上恒成立,
則g(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=
4
e
(舍去),
②當(dāng)0<
1
a
<e時(shí),即a>
1
e
時(shí),列表如下:

由表知,g(x)min=g(
1
a
)=1+lna=3,a=e2,滿足條件.
綜上,所求實(shí)數(shù)a=e2,使得當(dāng)x∈(0,e]時(shí)g(x)有最小值3.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減,是中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•汕頭一模)廣東省汕頭市日前提出,要提升市民素質(zhì)和城市文明程度,促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有大的提速,努力實(shí)現(xiàn)“幸福汕頭”的共建共享.現(xiàn)隨機(jī)抽取50位市民,對(duì)他們的幸福指數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到如下分布表:
幸福級(jí)別 非常幸福 幸福 不知道 不幸福
幸福指數(shù)(分) 90 60 30 0
人數(shù)(個(gè)) 19 21 7 3
(I)求這50位市民幸福指數(shù)的數(shù)學(xué)期望(即平均值);
(11)以這50人為樣本的幸福指數(shù)來(lái)估計(jì)全市市民的總體幸福指數(shù),若從全市市民(人數(shù)很多)任選3人,記ξ表示抽到幸福級(jí)別為“非常幸;蛐腋!笔忻袢藬(shù).求ξ的分布列;
(III)從這50位市民中,先隨機(jī)選一個(gè)人.記他的幸福指數(shù)為m,然后再隨機(jī)選另一個(gè)人,記他的幸福指數(shù)為n,求n<m+60的概率P.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•汕頭一模)若曲線y=
x
與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積為a2.則正實(shí)數(shù)a=
4
9
4
9

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•汕頭一模)△ABC中內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量
m
=(2sin
A
2
,
3
)
n
=(cosA,2cos2
A
4
-1)
,且
m
n

(I)求角A的大;
(II)若a=
7
且△ABC的面積為
3
3
2
,求b十c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•汕頭一模)已知函數(shù)f1(x)=e|x-a|,f2(x)=ebx
(I)若f(x)=f1(x)+f2(x)-bf2(-x),是否存在a,b∈R,y=f(x)為偶函數(shù).如果存在.請(qǐng)舉例并證明你的結(jié)論,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
〔II)若a=2,b=1.求函數(shù)g(x)=f1(x)+f2(x)在R上的單調(diào)區(qū)間;
(III )對(duì)于給定的實(shí)數(shù)?x0∈[0,1],對(duì)?x∈[0,1],有|f1(x)-f2(x0)|<1成立.求a的取值范圍.

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