Question

設(shè)P是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓

x2

b2

+

y2

a2

=1 (a＞b＞0)上的任一點(diǎn)，∠F₁PF₂最大值是120°，求橢圓離心率．

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a，再利用余弦定理化簡(jiǎn)整理得cos∠PF₁F₂=

4a2-4c2

2|PF1| |PF2|

-1，進(jìn)而根據(jù)均值不等式確定|PF₁||PF₂|的范圍，進(jìn)而確定cos∠PF₁F₂的最小值，求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，確定橢圓的離心率．

解答：解：根據(jù)橢圓的定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a
cos∠PF₁F₂=

|PF 1|2+|PF 2|2-|F1F2|2

2|PF1| |PF2|

=

4a2-4c2

2|PF1| |PF2|

-1≥

2b2

a2

-1=-

1

2

∴a²=4b²
∴c²=

a2-b2

=3b²
∴e=

c

a

=

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．當(dāng)P點(diǎn)在短軸的端點(diǎn)時(shí)∠F₁PF₂值最大，這個(gè)結(jié)論可以記住它．在做選擇題和填空題的時(shí)候直接拿來(lái)解決這一類的問(wèn)題．