Question

如圖,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為b,側(cè)棱AA'與底面相鄰兩邊AB,AC都成45°角.

(Ⅰ)求此斜三棱柱的表面積.
(Ⅱ)求三棱錐B'-ABC的體積.

Answer 1

（1）(+1)ab+a²；（2）.

試題分析：（1）要求表面積，最難求的是面的面積，要分析它的特征，如圖，過A'作A'D⊥平面ABC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,連接A'E,A'F,AD.由題意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF.，因此A'E=A'F,從而可得DE=DF.故AD平分∠BAC,又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四邊形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的側(cè)面積為2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.又∵斜三棱柱的底面積為2×a²=a²,∴斜三棱柱的表面積為(+1)ab+a².（2）求B'-ABC的體積，要求出底面ABC的面積，高的求解根據(jù)，，，
所以.
試題解析：

（1）如圖，過A'作A'D⊥平面ABC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,連接A'E,A'F,AD.
由題意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF.
因此A'E=A'F,從而可得DE=DF.故AD平分∠BAC,
又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四邊形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的側(cè)面積為2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.
又∵斜三棱柱的底面積為2×a²=a²,∴斜三棱柱的表面積為(+1)ab+a².
（2）由（1），，，所以.