Question

18．已知邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，|PA|=1，在點(diǎn)P的軌跡上任取一點(diǎn)E，則$\overrightarrow{BE}$$•\overrightarrow{CE}$的最大值為（　�。�

• A． 4
• B． 6
• C． 8+4$\sqrt{3}$
• D． 9+4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，求出B，C的坐標(biāo)，設(shè)E（cosα，sinα），將$\overrightarrow{BE}$$•\overrightarrow{CE}$表示為關(guān)于α的函數(shù)，利用三角函數(shù)的恒等變換求出最值．

解答 解：以A為原點(diǎn)，AC為x軸建立坐標(biāo)系，
∵△ABC是以4為邊長(zhǎng)的等邊三角形，
∴C（4，0），B（2，2$\sqrt{3}$），A（0，0）．
∵|PA|=1，∴P點(diǎn)軌跡為單位圓．
設(shè)E（cosα，sinα），則$\overrightarrow{BE}$=（cosα-2，sinα-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CE}$=（cosα-4，sinα）．
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CE}$=（cosα-2）（cosα-4）+sinα（sinα-2$\sqrt{3}$）=cos²α-6cosα+8+sin²α-2$\sqrt{3}$sinα=-2$\sqrt{3}$sinα-6cosα+9=4$\sqrt{3}$sin（α+φ）+9．
∴當(dāng)sin（α+φ）=1時(shí)，$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CE}$取得最大值9+4$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．