Question

若（1-x）ⁿ=1+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*），且a₁：a₃=1：7，則a₅等于

-56

．

Answer 1

分析：由二項式定理，可得（1-x）ⁿ展開式的通項，進而可得a₁=（-1）C_n¹，a₃=（-1）³C_n³，依題意a₁：a₃=1：7，代入并化簡可得（n-1）（n-2）=42，解可得n的值，則a₅=（-1）⁵C₈⁵，計算可得答案．

解答：解：（1-x）ⁿ展開式的通項為T_r+1=（-1）^rC_n^rxⁿ，則a₁=（-1）C_n¹，a₃=（-1）³C_n³，a₅=（-1）⁵C_n⁵，
則a₁：a₃=（-1）C_n¹：（-1）³C_n³=C_n¹：C_n³=1：7，
化簡可得（n-1）（n-2）=42，
解可得n=8或n=-5（舍）
則a₅=（-1）⁵C₈⁵=-56；
故答案為-56．

點評：本題考查二項式定理的應用，關鍵要從x的系數(shù)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)a₁=（-1）C_n¹，a₃=（-1）³C_n³．