Question

已知函數(shù)f（x）=lg

x2+1

|x|

，（x∈R且x≠0）有下列命題：
①y=f（x）的圖象關于y軸對稱；
②當x＞0時，當x＜0時，y=f（x）是減函數(shù)；
③y=f（x）的最小值是lg2．
其中正確的命題是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質及應用,簡易邏輯

分析：由函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)為偶函數(shù)判斷①；利用對勾函數(shù)的單調性判斷②；由對勾函數(shù)的最值及復合函數(shù)的最值結合函數(shù)奇偶性求得函數(shù)的最值判斷③．

解答： 解：函數(shù)f（x）=lg

x2+1

|x|

，（x∈R且x≠0）．
∵f（-x）=lg

(-x)2+1

|-x|

=lg

x2+1

|x|

=f（x），∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，命題①正確；
當x＞0時，t（x）=

x2+1

|x|

=

x2+1

x

=x+

1

x

，在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上得到遞增，
∴f（x）=lg

x2+1

|x|

在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上得到遞增，命題②錯誤；
由②知，f（x）=lg

x2+1

|x|

在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上得到遞增，f（x）在（0，+∞）上的最小值為f（1）=lg2，
由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（x）在（-∞，0）上的最小值為lg2，則y=f（x）的最小值是lg2，命題③正確．
故答案為：①③．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了函數(shù)奇偶性的性質，考查了復合函數(shù)的單調性，是中檔題．