【題目】已知函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù))與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)題意,若函數(shù)f(x)=﹣x3+1+a(≤x≤e,e是自然對數(shù)的底)與g(x)=3lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn),
則方程﹣x3+1+a=﹣3lnx在區(qū)間[,e]上有解,
﹣x3+1+a=﹣3lnxa+1=x3﹣31nx,即方程a+1=x3﹣31nx在區(qū)間[,e]上有解,
設(shè)函數(shù)g(x)=x3﹣31nx,其導(dǎo)數(shù)g′(x)=3x2﹣ = ,
又由x∈[,e],g′(x)=0在x=1有唯一的極值點(diǎn),
分析可得:當(dāng)≤x≤1時(shí),g′(x)<0,g(x)為減函數(shù),
當(dāng)1≤x≤e時(shí),g′(x)>0,g(x)為增函數(shù),
故函數(shù)g(x)=x3﹣31nx有最小值g(1)=1,
又由g()= +3,g(e)=e3﹣3;比較可得:g()<g(e),
故函數(shù)g(x)=x3﹣31nx有最大值g(e)=e3﹣3,
故函數(shù)g(x)=x3﹣31nx在區(qū)間[,e]上的值域?yàn)?/span>[1,e3﹣3];
若方程a+1=x3﹣31nx在區(qū)間[,e]上有解,
必有1≤a+1≤e3﹣3,則有0≤a≤e3﹣4,
即a的取值范圍是[0,e3﹣4];
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線E:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K,過點(diǎn)K作圓C:(x﹣2)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)為M,N,|MN|=
(1)求拋物線E的方程
(2)設(shè)A、B是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動點(diǎn),且 = (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))
①求證:直線AB必過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)Q的坐標(biāo)
②過點(diǎn)Q作AB的垂線與拋物線交于G、D兩點(diǎn),求四邊形AGBD面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù),下列說法錯(cuò)誤的是( )
A. 是的極小值點(diǎn) B. 函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)
C. 存在正實(shí)數(shù),使得恒成立 D. 對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù),且,若,則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1= ,M是CC1的中點(diǎn),則異面直線AB1與A1M所成角為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣π<φ<0)的最小正周期為π,且它的圖象過點(diǎn)( , ).
(1)求ω,φ的值;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值;
(Ⅱ)若曲線上的所有點(diǎn)都在直線的下方,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,他們所在的平面互相垂直,動點(diǎn)M在線段PQ上,E,F(xiàn)分別為AB,BC的中點(diǎn),設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ,則cosθ的最大值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形, 底面ABCD,SA=2,M為SA的中點(diǎn).
(1)求異面直線AB與MD所成角的大小;
(2)求直線AS與平面SCD所成角的正弦值;
(3)求平面SAB與平面SCD所成銳二面角的余弦值.
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