Question

5．已知不等式$\frac{a}{sinx}$+$\frac{a}{cosx}$＞1對x∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$]恒成立，則a的取值范圍是a＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)x∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$]時sinx＞0，cosx＞0，原不等式化為a＞$\frac{sinxcosx}{sinx+cosx}$對x∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$]恒成立；設(shè)f（x）=$\frac{sinxcosx}{sinx+cosx}$，求出它的最大值即可．

解答 解：當(dāng)x∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$]時，sinx＞0，cosx＞0；
∴不等式$\frac{a}{sinx}$+$\frac{a}{cosx}$＞1可化為
a＞$\frac{1}{\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx}}$=$\frac{sinxcosx}{sinx+cosx}$對x∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$]恒成立；
設(shè)f（x）=$\frac{sinxcosx}{sinx+cosx}$，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
令t=sinx+cosx，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
∴t=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）；
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
∴x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{12}$]，
∴$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\sqrt{2}$]；
令sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
則y=$\frac{{t}^{2}-1}{2t}$=$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
當(dāng)t=$\sqrt{2}$時，y_max=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$-$\frac{1}{\sqrt{2}}$）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴a的取值范圍是a＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：a＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查了不等式恒成立的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是綜合性題目．