Question

求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）與橢圓

x2

16

+

y2

25

=1共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(1，

5

2

)的雙曲線；
（2）與雙曲線

x2

16

-

y2

4

=1有相同漸近線，且過點(diǎn)(2

2

，1)的雙曲線．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同可求出c的值，設(shè)出雙曲線方程，將點(diǎn)代入可求出所求；
（2）與雙曲線

x2

16

-

y2

4

=1有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為

x2

16

-

y2

4

=λ，將點(diǎn)代入可求出λ的值，從而可求出所求．

解答：解：（1）橢圓

x2

16

+

y2

25

=1焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），在y軸上
∴所求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），c=3
故設(shè)雙曲線方程為

y2

a2

-

x2

9-a2

=1
∵點(diǎn)(1，

5

2

)在雙曲線上
∴

( 5 2 )2

a2

-

12

9-a2

=1解得a²=5，
∴所求雙曲線方程為

y2

5

-

x2

4

=1
（2）與雙曲線

x2

16

-

y2

4

=1有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為

x2

16

-

y2

4

=λ
而點(diǎn)(2

2

，1)在雙曲線上則

(2 2 )2

16

-

12

4

=λ解得λ=

1

4

∴所求雙曲線方程為

x2

4

-y2=1

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及圓錐曲線的性質(zhì)，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．