Question

9．已知函數(shù)f（x）=x|x-2a|+3（1≤x≤2）．
（1）當a=$\frac{3}{4}$時，求函數(shù)的值域；
（2）若函數(shù)f（x）的最大值是M（a），最小值為m（a），求函數(shù)h（a）=M（a）-m（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）當a=$\frac{3}{4}$時，化簡f（x）=x|x-$\frac{3}{2}$|+3=$\left\{\begin{array}{l}{x（\frac{3}{2}-x）+3，1≤x≤\frac{3}{2}}\\{x（x-\frac{3}{2}）+3，\frac{3}{2}＜x≤2}\end{array}\right.$，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而解得；
（2）根據(jù)絕對值函數(shù)及二次函數(shù)的單調(diào)性，分a≤$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜a＜1，a=1，1＜a＜2，a≥2討論確定函數(shù)的單調(diào)性，再討論求函數(shù)的最值，從而求函數(shù)h（a）=M（a）-m（a）的最小值．

解答 解：（1）當a=$\frac{3}{4}$時，f（x）=x|x-$\frac{3}{2}$|+3=$\left\{\begin{array}{l}{x（\frac{3}{2}-x）+3，1≤x≤\frac{3}{2}}\\{x（x-\frac{3}{2}）+3，\frac{3}{2}＜x≤2}\end{array}\right.$，
故f（x）在[1，$\frac{3}{2}$]上是減函數(shù)，在[$\frac{3}{2}$，2]上是增函數(shù)；
而f（$\frac{3}{2}$）=3，f（1）=$\frac{7}{2}$，f（2）=4；
故函數(shù)的值域為[3，4]．
（2）①當2a≤1，即a≤$\frac{1}{2}$時，
f（x）=x（x-2a）+3=（x-a）²+3-a²，
f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，
故M（a）=f（2）=2（2-2a）+3=7-4a，m（a）=f（1）=1-2a+3=4-2a；
故h（a）=M（a）-m（a）=3-2a≥2，
②當1＜2a＜2，即$\frac{1}{2}$＜a＜1時，
f（x）=x|x-2a|+3=$\left\{\begin{array}{l}{x（2a-x）+3，1≤x≤2a}\\{x（x-2a）+3，2a＜x≤2}\end{array}\right.$，
故f（x）在[1，2a]上是減函數(shù)，在[2a，2]上是增函數(shù)；
故m（a）=f（2a）=3，
而f（1）=2a-1+3=2+2a，f（2）=2（2-2a）+3=7-4a，
f（2）-f（1）=5-6a，
故當$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{5}{6}$時，M（a）=f（2）=7-4a，
h（a）=M（a）-m（a）=7-4a-3＞$\frac{2}{3}$，
當$\frac{5}{6}$≤a＜2時，M（a）=f（1）=2+2a；
h（a）=M（a）-m（a）=2+2a-3≥$\frac{2}{3}$，
 ③當2a=2，即a=1時，
f（x）=x|x-2a|+3=x（2a-x）+3，
故f（x）在[1，2]上是減函數(shù)；
故m（a）=f（2）=3，M（a）=f（1）=4；
h（a）=M（a）-m（a）=1；
④當1＜a＜2時，
f（x）在[1，a]上是增函數(shù)，在[a，2]上是減函數(shù)；
故M（a）=f（a）=a²+3，
而f（1）=2a+2，f（2）=4a-1，f（1）-f（2）=-2a+3，
故當1＜a＜$\frac{3}{2}$時，m（a）=f（2）=4a-1，
故h（a）=M（a）-m（a）=a²+3-4a+1＞$\frac{1}{4}$，
故當$\frac{3}{2}$≤a＜2時，m（a）=f（1）=2a+2，
故h（a）=M（a）-m（a）=a²+3-2a-1≥$\frac{1}{4}$，
⑤當a≥2時，f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，
故M（a）=f（2）=2（2a-2）+3=4a-1，m（a）=f（1）=2a-1+3=2a+2；
故h（a）=M（a）-m（a）=2a-3≥1，
綜上所述，函數(shù)h（a）=M（a）-m（a）的最小值為$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了分類討論的思想的應(yīng)用及絕對值函數(shù)的應(yīng)用，屬于難題．