Question

（2006•廣州模擬）把正整數(shù)排列成如圖所示的數(shù)陣．
（Ⅰ）求數(shù)陣中前10行所有的數(shù)的個數(shù)及第10行最右邊的數(shù)；
（Ⅱ）求第n行最左邊及最右邊的數(shù)；
（Ⅲ）2007位于數(shù)陣的第幾行的第幾個數(shù)（從左往右數(shù)）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）數(shù)陣的第n行有n個數(shù)，所以前10行的數(shù)的個數(shù)有：1+2+3+…+10=55，從而得到第10行最右邊的數(shù)．
（Ⅱ）根據(jù)第n行有n個數(shù)，可得前n行所有個數(shù)為：1+2+3+…+n=

1

2

n(n+1)，從而求得第n行最左邊及最右邊的數(shù)．
（Ⅲ）根據(jù)n=63時，第63行最左邊的數(shù)為：

1

2

×63×62+1=1954，第63行最右邊的數(shù)為：

1

2

×64×63=2016，可得
2007位于數(shù)陣的第63行的第54個數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）數(shù)陣的第n行有n個數(shù)，所以前10行的數(shù)的個數(shù)有：1+2+3+…+10=55．
又正整數(shù)列第n個數(shù)前（包括第n個數(shù)）所有數(shù)的個數(shù)為n，
所以第10行最右邊的數(shù)為55．    …（2分）
（Ⅱ）前n行所有個數(shù)為：1+2+3+…+n=

1

2

n(n+1)，…（4分）
所以，第n行最右邊的數(shù)為 

1

2

n(n+1)．
第n行最左邊的數(shù)為

1

2

n(n+1)-(n-1)=

1

2

n2-

1

2

n+1．  …（6分）
（Ⅲ）又n=63時，第63行最左邊的數(shù)為：

1

2

×63×62+1=1954，
第63行最右邊的數(shù)為：

1

2

×64×63=2016，…（8分）
所以2007位于第63行．
又因為2007-1954=53，故2007位于第63行的第54位．   …（10分）

點評：本題主要考查歸納推理，等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式及其應用，屬于基礎題．