Question

已知曲線C上任意一點M到點F（1，0）的距離比它到直線l：x=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）斜率為1的直線l過點F，且與曲線C交與A、B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

解：（1）由已知條件知，
點M到F（1，0）的距離與它到直線l'：x=-1的距離相等，
∴點M的軌跡C是以F為焦點，
l'為準線的拋物線，
∴曲線C的方程為y²=4x．…（4分）
（2）設交點A，B的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由拋物線的定義可得|AF|=d_A=x₁+1|BF|=d_B=x₂+1…（6分）
于是|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2
由條件知直線l方程為：y=x-1代入y²=4x，
得 （x-1）²=4x
即 x²-6x+1=0∴x₁+x₂=6，
故|AB|=x₁+x₂+2=8．…（10分）
分析：（1）由已知：點M到F（1，0）的距離與它到直線l'：x=-1的距離相等，所以點M的軌跡C是以F為焦點，l'為準線的拋物線，由此能求出曲線C的方程．
（2）設交點A，B的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由拋物線的定義可得|AF|=d_A=x₁+1|BF|=d_B=x₂+1，于是|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2，由此能求出線段AB的長．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．