如圖,△VAC中,VC⊥AC,將其繞直線VC旋轉(zhuǎn)得到△VBC,D是AB的中點,AB=,AC=a,∠VDC=θ(0<θ<
(Ⅰ)求證:平面VAB⊥平面VCD;
(Ⅱ)當角θ變化時,求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍.

【答案】分析:(I)根據(jù)已知中,△VAC中,VC⊥AC,將其繞直線VC旋轉(zhuǎn)得到△VBC,D是AB的中點,我們易得到VC⊥AC,VC⊥BC,進而根據(jù)線面垂直的判定定理,得到平面VAB⊥平面VCD;,以C為坐標原點,CA、CB、CV為x、y、z軸建立坐標系如圖,我們求出各頂點的坐標,進而確定直線AB與平面VCD的法向量,利用向量法證明,AB⊥平面VCD,再由面垂直的判定定理得到平面VAB⊥平面VCD;
(Ⅱ)設(shè)平面VAB的法向量為=(x,y,z),并求出平面VAB的法向量,并設(shè)直線BC與平面VAB所成角為φ,根據(jù)已知中AB=,AC=a,∠VDC=θ(0<θ<),結(jié)合向量夾角公式,易得到直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)∵AB=,AC=BC=a,
∴AC⊥BC,
∵VC⊥AC,VC⊥BC,
∴VC⊥平面ABC,
以C為坐標原點,CA、CB、CV為x、y、z軸建立坐標系如圖,

則A(a,0,0),B(0,a,0),D(,,0),V(0,0, ),
=(,,- ),=(,,0),=(-a,a,0),
,=0,
∴AB⊥平面VCD,
∵AB?平面VAB,
∴平面VAB⊥平面VCD,
(Ⅱ)設(shè)平面VAB的法向量為=(x,y,z),
,
,
∴又=(1,1,),
又∵=(0,-a,0)
設(shè)直線BC與平面VAB所成角為φ,
∴sinφ==
∵0<θ<,∴0<sinθ<1,0<sinφ<
0≤φ≤,∴0<φ<
點評:本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角,其中建立空間坐標系,將面面垂直的證明及直線與平面的夾角均轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵.
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