Question

已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，其中點E為棱PB的中點．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）求AE與平面PDB所成的角的大�。�

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD
∴PD⊥AC，
∵PD∩BD=D，
且PD?平面PDB，BD?平面PDB
∴AC⊥平面PDB，
∵AC?平面AEC
∴平面AAEC⊥平面PDB；
解：（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO為AE與平面PDB所成角，
∴O，E分別為DB、PB的中點，
∴OE∥PD，OE=PD，又∵PD⊥底面ABCD，，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，OE=PD=AB=AO，
∴∠AOE=45°，即AE與平面PDB所成的角的大小為45°
分析：（I）由已知中的三視圖，我們可以判斷出這是一個底面為邊長是1的正方形，PD垂直于底面ABCD的四棱錐，E為PB的中點，根據(jù)正方形的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可得AC⊥BD，PD⊥AC，結(jié)合線面垂直的判定定理，可得AC⊥平面PDB，再由面面垂直的判定定理，得到平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，結(jié)合（I）的結(jié)論，可得∠AEO為AE與平面PDB所成角，解三角形AEO，即可得到AE與平面PDB所成的角的大�。�
點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，平面與平面垂直的判定，其中（I）的關(guān)鍵是熟練掌握空間直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的相互轉(zhuǎn)化，（II）的關(guān)鍵是判斷出∠AEO為AE與平面PDB所成角．