【題目】已知點,點A是直線上的動點,過作直線,,線段的垂直平分線與交于點.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)若點,是直線上兩個不同的點,且的內(nèi)切圓方程為,直線的斜率為,求的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)根據(jù)題意得到:點到點的距離等于它到直線的距離,所以點的軌跡是以點F為焦點,直線為準線的拋物線,再利用拋物線的定義即可得到曲線的方程.
(2)首先設(shè),點,點,求出直線的方程,根據(jù)圓心到直線的距離為,得到,同理得到,即是關(guān)于的方程的兩根,再根據(jù)韋達定理得到,再求的范圍即可.
(1)因為點,點是直線上的動點,
過作直線,,線段的垂直平分線與交于點,
所以點到點的距離等于它到直線的距離,
所以點的軌跡是以點F為焦點,直線為準線的拋物線,
所以曲線的方程為.
(2)設(shè),點,點,
直線的方程為:,
化簡得,
因為的內(nèi)切圓的方程為,
所以圓心到直線的距離為,即,
整理得:,
由題意得,所以上式化簡得,
同理,有.
所以是關(guān)于的方程的兩根,
,.
所以,
因為,,
所以,
直線的斜率,則,
所以,
因為函數(shù)在單調(diào)遞增,
所以,,
所以0.
即的取值范圍是.
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【題目】在直角坐標系中,曲線,曲線(為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求的極坐標方程;
(2)射線的極坐標方程為,若分別與交于異于極點的兩點,求的最大值.
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【題目】已知橢圓的焦距為4.且過點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè),,,過B點且斜率為的直線l交橢圓E于另一點M,交x軸于點Q,直線AM與直線相交于點P.證明:(O為坐標原點).
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【題目】已知拋物線C:y2=2px的焦點為F,過點F且斜率為1的直線l截得圓:x2+y2=p2的弦長為2.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若過點F作互相垂直的兩條直線l1、l2,l1與拋物線C交于A、B兩點,l2與拋物線C交于D、E兩點,M、N分別為弦AB、DE的中點,求|MF||NF|的最小值.
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【題目】在數(shù)列{an},{bn}中,an=bn+n,bn=﹣an+1.
(1)證明:數(shù)列{an+3bn}是等差數(shù)列.
(2)求數(shù)列的前n項和Sn.
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【題目】在棱長為1的正方體中,E,F(xiàn)分別為線段CD和上的動點,且滿足,則四邊形所圍成的圖形(如圖所示陰影部分)分別在該正方體有公共頂點的三個面上的正投影的面積之和( 。
A. 有最小值B. 有最大值C. 為定值3D. 為定值2
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【題目】已知橢圓的左右焦點分別為,左頂點為,且,是橢圓上一點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于兩點,直線別與軸交于點,求證:在軸上存在點,使得無論非零實數(shù)怎樣變化,以 為直徑的圓都必過點,并求出點的坐標.
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