Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)、右焦點(diǎn)、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列．
（1）求橢圓的離心率
（2）若直線l與此橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)M為（-2，1），|AB|=4

3

，求直線l的方程和橢圓方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出c，2c，

a2

c

+c成等差數(shù)列，從而得到a²=2c²，由此能求出橢圓的離心率．
（2）由a²=2c²，求出a²=2b²，設(shè)橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，由此利用點(diǎn)差法能求出直線l的方程和橢圓方程．

解答： 解：（1）∵橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
∴設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
∵左焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)、右焦點(diǎn)、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列，
∴c，2c，

a2

c

+c成等差數(shù)列，
∴4c=c+

a2

c

+c，∴a²=2c²，∴a=

2

c，
∴橢圓的離心率e=

c

a

=

c

2 c

=

2

2

．
（2）∵a²=2c²，
∴a²=2（a²-b²），∴a²=2b²，
∴橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AB中點(diǎn)M為（-2，1），
∴x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，
分別把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓

x2

2b2

+

y2

b2

=1，得：

x12

2b2

+

y12

b2

=1，①，

x22

2b2

+

y22

b2

=1，②
①-②，得

x12-x22

2b2

+

y12-y22

b2

=0，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴-4（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=1，
∴直線l的方程為y-1=x+2，整理，得：x-y+3=0．
聯(lián)立

x-y+3=0 x2 2b2 + y2 b2 =1

，消去y，并整理，得：x²+2（x+3）²-2b²=0
∴3x²+12x+18-2b²=0，
∴x₁+x₂=-4，x₁x₂=

18-2b2

3

，
∵|AB|=4

3

，
∴|AB|=

(1+1)[(-4)2-4× 18-2b2 3 ]

=4

3

，
解得b²=12，
∴橢圓方程為

x2

24

+

y2

12

=1，直線l的方程為x-y+3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓方程和直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．