Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．
（Ⅰ）證明：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求PB和平面PAC所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （I）由△ABC為等邊三角形可得PA=AC，于是AE⊥PC，通過證明CD⊥平面PAC得出CD⊥AE，故而AE⊥平面PCD；
（II）取AC中點F，連接BF、PF，則可證明BF⊥平面PAC，故∠BPF為PB與平面PAC所成的角，利用勾股定理求出BF，PF即可得出tan∠BPF．

解答 證明：（I）∵∠ABC=60°，AB=BC=PA
∴△ABC為等邊三角形，∴PA=AC，
∵E是PC的中點，∴AE⊥PC．
∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，∵AE?平面PAC，
∴CD⊥AE
又∵AE⊥PC，PC?平面PCD，CD?平面PCD，PC∩CD=C，
∴AE⊥平面PCD．
（II）取AC中點F，連接BF、PF，
∵AB=BC，F(xiàn)為AC中點，∴BF⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，BF?底面ABCD，∴PA⊥BF，
又∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BF⊥平面PAC．
∴∠BPF為PB與平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，∴PA⊥AC．
設(shè)PA=AB=BC=AC=2a，∴AF=a，PF=$\sqrt{P{A}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{5}a$，$BF=\sqrt{3}a$
∴$tan∠BPF=\frac{{\sqrt{3}a}}{{\sqrt{5}a}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
∴PB和平面PAC所成的角的正切值為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，線面角的計算，屬于中檔題．