Question

11．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=2a_n-1．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-1．可得當(dāng)n=1時，a₁=2a₁-1，解得a₁．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=2a_n-1．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=2^n-1．na_n=n•2^n-1．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵S_n=2a_n-1．∴當(dāng)n=1時，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化為：a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2．
（2）解：由（1）可得：a_n=2^n-1．
na_n=n•2^n-1．
∴數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
2T_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點(diǎn)評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．