Question

在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合，構(gòu)成一個(gè)三棱錐B-AEF，如圖所示．
（Ⅰ）在三棱錐B-AEF中，求證：AB⊥EF；
（Ⅱ）求四棱錐E-AMNF的體積．

Answer 1

（I）證明：在三棱錐B-AEF中，
因?yàn)锳B⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，
所以AB⊥平面BEF．…..（3分）
又EF?平面BEF，
所以AB⊥EF．…..（6分）
（II）解：因?yàn)樵凇鰽BF中，M、N分別為AB、BF的中點(diǎn)，
所以四邊形AMNF的面積是△ABF面積的．…..（8分）
又三棱錐E-ABF與四棱錐E-AMNF的高相等，
所以，四棱錐E-AMNF的體積是三棱錐E-ABF的體積的，
因?yàn)閂_E-ABF=V_A-BEF，
所以．…..（10分）
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/485858.png' />，
所以，
故四棱錐E-AMNF的體積為．…..（13分）
分析：（I）在三棱錐B-AEF中，因?yàn)锳B⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，所以AB⊥平面BEF．由此能夠證明AB⊥EF．
（II）因?yàn)樵凇鰽BF中，M、N分別為AB、BF的中點(diǎn)，所以四邊形AMNF的面積是△ABF面積的．因?yàn)槿�棱錐E-ABF與四棱錐E-AMNF的高相等，所以，四棱錐E-AMNF的體積是三棱錐E-ABF的體積的，因?yàn)閂_E-ABF=V_A-BEF，所以．由此能夠求出四棱錐E-AMNF的體積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查在三棱錐B-AEF中，求證AB⊥EF，求四棱錐E-AMNF的體積．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題．