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已知函數，是否存在實數a、b、c，使同時滿足下列三個條件：（1）定義域為R的奇函數；（2）在上是增函數；（3）最大值是1．若存在，求出a、b、c；若不存在，說明理由.

 

【答案】

【解析】

試題分析：先利用函數是定義域為的奇函數，利用以及定義求出的值以及確定與的關系，然后利用復合函數的單調性將問題轉化為內層函數在上是增函數進行處理，結合導數來解決，由此確定的正負，最后在根據上一步的結論并根據函數的最大值為求出與的值，從而使問題得到解答.

試題解析：是奇函數               3分

又，即，

∴．

∴或，但時，，不合題意；故． …6分

這時在上是增函數，且最大值是1．

設在上是增函數，且最大值是3．

，

當時，故；     8分

又當時，；當時，；

故，又當時，，當時，．

所以在是增函數，在（－1，1）上是減函數．       10分

又時，時最大值為3．    11分

∴經驗證：時，符合題設條件，

所以存在滿足條件的a、b、c，即                 14分

考點：1.函數的奇偶性；2.復合函數的單調性；3.函數的最值

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
1a-x
-1（其中a為常數，x≠a）．利用函數y=f（x）構造一個數列{xn}，方法如下：
對于給定的定義域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…
在上述構造過程中，如果xi（i=1，2，3，…）在定義域中，那么構造數列的過程繼續(xù)下去；如果xi不在定義域中，那么構造數列的過程就停止．
（Ⅰ）當a=1且x1=-1時，求數列{xn}的通項公式；
（Ⅱ）如果可以用上述方法構造出一個常數列，求a的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在實數a，使得取定義域中的任一實數值作為x1，都可用上述方法構造出一個無窮數列{xn}？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=Asinωx+Bcosωx（A、B、ω是實常數，ω＞0）的最小正周期為2，并當x=
1
3
時，f（x）max=2．
（1）求f（x）．
（2）在閉區(qū)間[
21
4
，
23
4
]上是否存在f（x）的對稱軸？如果存在，求出其對稱軸方程；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2+bx+c（其中b，c為實常數）．
（Ⅰ）若b＞2，且y=f（sinx）（x∈R）的最大值為5，最小值為-1，求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在這樣的函數y=f（x），使得{y|y=x2+bx+c，-1≤x≤0}=[-1，0]？若存在，求出函數y=f（x）的解析式；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax3+3bx2-（a+3b）x+1（ab≠0）在x=1處取得極值，在x=2處的切線平行于向量
OP
=（b+5，5a）．
（1）求a，b的值，并求f（x）的單調區(qū)間；
（2）是否存在正整數m，使得方程f(x)=6x-
16
3
在區(qū)間（m，m+1）內有且只有兩個不等實根？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知，問是否存在這樣的實數值,使函數在上遞減，在上遞增？

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