Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N₊）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若bn=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)a_n之間的關(guān)系，求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵；注意分類討論思想的運(yùn)用；
（Ⅱ）利用第一問中所求的公式表示出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式選擇合適的方法----裂項(xiàng)法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由已知得（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N₊）
即a_n+1-a_n=1（n≥2，n∈N₊），
又a₂-a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n+1．
（Ⅱ）∵bn=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)a_n之間的關(guān)系，考查等差數(shù)列的判定，考查學(xué)生分類討論思想．運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)公式選取合適的求和方法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，體現(xiàn)了化歸思想．