已知函數(shù)f(x),如果存在給定的實數(shù)對(a,b),使得f(a+x)·f(a-x)=b恒成立,則稱f(x)為“S-函數(shù)”.
(Ⅰ)判斷函數(shù)f1(x)=x,f2(x)=3x是否是“S-函數(shù)”;
(Ⅱ)若f3(x)=tanx是一個“S-函數(shù)”,求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(a,b);
(Ⅲ)若定義域為R的函數(shù)f(x)是“S-函數(shù)”,且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(0,1)和(1,1),當x∈[0,1]時,f(x)的值域為[1,2],求當x∈[-2012,2012]時函數(shù)f(x)的值域.
解:(Ⅰ)若是“S-函數(shù)”,則存在常數(shù)使得(a+x)(a-x)=b. 即x2=a2-b時,對xÎ R恒成立.而x2=a2-b最多有兩個解,矛盾. 因此不是“S-函數(shù)” 2分 若是“S-函數(shù)”,則存在常數(shù)a,b使得, 即存在常數(shù)對(a,32a)滿足. 因此是“S-函數(shù)” 4分 (Ⅱ)是一個“S-函數(shù)”,設(shè)有序?qū)崝?shù)對(a,b)滿足. 則tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立. 當a=時,tan(a-x)tan(a+x)=-cot2(x)不是常數(shù) 5分 因此,時, 則有. 即恒成立 7分 即. 當,時,tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1, 因此滿足是一個“S-函數(shù)”的常數(shù)(a,b)= 9分 (Ⅲ)函數(shù)是“S-函數(shù)”,且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和, 于是 即, 12分 13分 因此為以2為周期的周期函數(shù). 當時,函數(shù)的值域為 14分 |
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B、
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C、
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D、2-
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