定義在R上的偶函數(shù)R滿足，x＞0時(shí)，f（x）=x+
4x
．
（1）求x＜0時(shí)，f（x）的解析式；
（2）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上遞減．
分析：（1）利用所求函數(shù)的區(qū)間與已知區(qū)間是對(duì)稱的，再結(jié)合奇偶性求解；（2）利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性．
解答：解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
因?yàn)閤＞0時(shí)，f(x)=x+
4
x
，
所以 f(-x)=-x-
4
x
，
因?yàn)樵摵瘮?shù)是偶函數(shù)，所以f(x)=-x-
4
x
．
（2）任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，
所以f(x1)-f(x2)=-x1-
4
x1
+x2+
4
x2
=
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2
，
因?yàn)?＜x1＜x2＜2，
所以4＞x1x2＞0，x1-x2＜0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上遞減．
點(diǎn)評(píng)：本題考察利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式和函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且x≤0時(shí)，f(x)=
(
1
e
)x+2，x≤-1
f(x-1)，-1＜x≤0
，若f （x）≥x+a“對(duì)于任意x∈R恒成立，則常數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知下列四個(gè)命題：
（1）定義在R上的函數(shù)g（x），若滿足g（2）=g（-2）且 g（-5）=g（5），則g（x）為偶函數(shù)；
（2）定義在R上的函數(shù)g（x）滿足g（2）＞g（1），則函數(shù)g（x）在R上不是減函數(shù)；
（3）y=2x+1的圖象可由y=2x的圖象向上平移一個(gè)單位得到，也可由y=2x的圖象向左平移一個(gè)單位得到；
（4）f（1-x）的圖象可由f（x）的圖象先向右平移一個(gè)單位，再將圖象關(guān)于y軸對(duì)稱得到．
其中，正確的命題序號(hào)為
（2）
（2）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年河南省安陽一中高一（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

定義在R上的偶函數(shù)R滿足，x＞0時(shí)，f（x）=x．
（1）求x＜0時(shí)，f（x）的解析式；
（2）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上遞減．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年江蘇省高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分16分）

已知f (x)、g(x)都是定義在R上的函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x)，那么稱h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個(gè)函數(shù).

設(shè)f (x)=x2+ax，g(x)=x+b(R)，= 2x2+3x-1，h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個(gè)二次函數(shù).

（1）設(shè)，若h (x)為偶函數(shù)，求；

（2）設(shè)，若h (x)同時(shí)也是g(x)、l(x) 在R上生成的一個(gè)函數(shù)，求a+b的最小值；

 

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